一次又一次执着于证明的含义——《量子杂志》每周数学漫笔

来源：乐鱼网官方网    发布时间：2025-10-08 22:21:22

　　每周量子杂志都会解说推进现代研讨的最重要思维之一。本周，数学特约撰稿人约瑟夫·豪利特（Joseph Howlett）探讨了为什么值得寻觅同一真理的多个不同途径。

　　数学家的方针是扩展咱们所知道的。因而，他们大部分时刻都在考虑怎么样证明新出题。因而，一旦他们将猜测变成定理，你就会期望他们持续评论一个新问题。究竟，他们的作业是不断向清单增加新的真理。

　　但证明的价值不只仅在于将新出题移动到“已知”列。数学家期望尽可能深化地了解“为什么”。可以让读者信任证明中的每个过程都遵从前一步的逻辑，即便读者并不彻底了解其间的深层数学联络。审理这样的证明时，你会错失那种难以言喻的彻悟激流——正是这种彻悟，日复一日地唆使着数学家们站到黑板前。当他们议论“美丽”的证明时，他们指的是满意他们对真实了解特别巴望的证明。

　　因而，即便在某件事被证明之后，数学家也经常会寻觅通往相同真理的代替途径，特别是当他们发现现有途径不令人满意或不高雅时。一般，从头证明会以数学家从前错失的办法说明其定论。有时，在构建第二个、第三个或第四个证明的过程中，数学家会创造新的技巧，由此产生不相关的令人惊奇的发现。数学的前史充满了比如，这些比如中，已被证明的出题的新证明可以归功于终究将某些东西移入“了解”列。

　　使一个证明比另一个证明更好的美德是十分片面的和人文明的。正是因为这些审美价值观，该范畴经常被比作艺术和科学。对数学家来说，证明是一首交响乐，是一件艺术品，不只关乎终究的音符，还关乎一个人抵达那里有必要阅历的启示之旅。

　　果然如此，数学中被从头证明最多的定理往往是最闻名、最陈旧的。很少有某种数学痴迷之物比素数更陈旧或更闻名。素数特别会集在数轴的低端——0 到 50 之间有 15 个素数，但在 10000 到 10050 之间只要 4 个。素数定理是描绘这种散布的方程。两位数学家于1896年独立证明了这一点。但一个多世纪后，新的证明不断出现 。形成这样的一种状况的原因有许多：这是一个根本定理；许多其他定理都依赖于它；这是锻炼数论家证明才能的好办法。

　　数学家对证明感到不适的一个常见来历是核算机的参加。现代机器可以以超出任何数学家才能的规划履行繁琐的核算使命，但它们产生的证明往往缺少人类同行所珍爱的任何不可言喻的性质。

　　托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）1998年对开普勒猜测（一个关于一个盒子里可以塞多少个球体的问题）的依据核算机的证明 十分有争议，以致于他不得不花六年时刻对每一步进行编码，并将其输入到一个形式化的验证程序中，以压服一切人它是有用的。

　　数学家们持续热切地等待着 四色定理的纸笔证明（关于是否有可能用四种或更少的色彩为地图上的国家上色，使得没有相邻国家具有相同的色彩）——虽然沃尔夫冈·哈肯在半个世纪前就凭借 1000 小时的核算机时刻证明了这一点。

　　量子杂志撰稿人Lyndie Chiou和我最近合写了一个故事，关于一个闻名的从头证明 ——请参阅。“十杯马提尼”问题是问当生活在原子网格上的电子被放置在磁场中时会产生啥。数学家马克·卡克 （Marc Kac） 从前向任何可以证明电子能量值形成分形图画的人供给10杯马提尼酒。数学家终究找到了一个证明，但它从未与它的作者之一斯维特兰娜·吉托米尔斯卡娅 （Svetlana Jitomirskaya） 相符。证明触及运用不相同的技能处理不同的状况，给人一种凑集的被子，琐细地制作的感觉。数学真理感觉满足深入，以致于吉托米尔斯卡娅置疑应该有一个更高雅的证明来一起处理一切不同的状况。

　　一些数学家对美丽的证明如此入神，以致于他们信任并寻求每个数学证明的柏拉图式抱负。保罗·埃尔多斯（Paul Erdős）曾谈到过闻名的所谓《“圣经”》（The Book），这是一本只要天主知道的巨作，其间包含了一切这些完美的证明。就在他逝世几年后，两位数学家出书了他们的版别《“圣经”中的证明 》。2018年，他们与量子杂志撰稿人 Erica Klarreich 评论了该大纲的前五个版别 ，以及为什么某些证明归于“圣经”。

　　证明也像言语。他们让数学家将只存在于他们脑海中的概念传达给他们的搭档——有时并不完美。比尔（威廉）·瑟斯顿 （Bill Thurston） 的一篇闻名的 MathOverflow 帖子（陶哲轩等人的回复）愉快地深思了这项扎手的尽力 。

　　假如证明美学的片面性与你对数学该怎么样运作的主意不符，那么你并不孑立。大卫·希尔伯特（David Hilbert）于1900年提出的闻名的 23 个问题，以辅导下个世纪的数学，其数量挨近 24 个。 希尔伯特决议不包括这样的一个问题 要求一个客观的目标，用于依据简单性对给定出题的证明进行排名。吕迪格·蒂勒 （Rüdiger Thiele） 从他的笔记中从头发现了它，他在2003年《美国数学月刊》 的一篇文章中写到了这一点。

　　你怎么区别一个出题的不同证明？正如数学家蒂姆·高尔斯 （Tim Gowers） 在他的博客上评论的那样，判别两个证明其实便是相同的 并不总是那么简单。我想知道他会怎么样看待最近的预印本，该预印本宣称勾股定理有无限多证明 。